Brøk, algebra og likninger

Her finner du informasjon om hvordan du som matematikklærer kan arbeide med brøk, algebra og likninger når du har en elev som bruker punktskrift.

• Brøk
• Algebra
• Likninger
• Likningssystemer
• Polynomdivisjon
• Ulikheter

Brøk 

Bygging av forståelse for brøk 

Vi anbefaler å bruke konkreter til å forstå det matematiske innholdet i brøk i innlæringen. Eleven bør få bli godt kjent med konkretene. 

Bruk begrepene teller og nevner, det gjør det lettere å forstå det visuelle utseendet til brøken og å følge med i fellesundervisningen.  

Eksempler på konkreter utarbeidet av Statped: 

Mye arbeid i lavere trinn går ut på å beskrive hvor stor brøkdel av en figur som er fargelagt. Dette kan være tidskrevende å tolke, og du bør supplere med beskrivelser knyttet til dette. 

Utvide og forkorte brøk 

For å markere at en brøk skal utvides, for eksempel at både teller og nevner skal multipliseres med 3, settes teller og nevner i parentes slik at en ser hvor teller og nevner starter og slutter: 

(1 *3)/(12 *3) =3/36=== 

Samme metode brukes for forkorting av brøk: 
(5 :5)/(45 :5) =1/9=== 

En alternativ måte eleven kan skrive dette på som en kortform er å bruke «gange gange» (**3) etter brøken: 

1/12 **3 =3/36=== 

Det samme gjelder forkorting. Skal brøken forkortes med 5, settes «dele dele» (::5) etter brøken:  

5/45 ::5 =1/9=== 

Faktorisering og fellesnevner  

Finn fellesnevner og regn ut. 

1/8 +5/6 

Løsning: 

Vi finner fellesnevner ved hjelp av primtallsfaktorisering: 

8 =2 *2 *2  

6 =2 *3 

Fellesnevner er 2 *2 *2 *3 =24. 

1/8 +5/6 
=(1 *3)/(8 *3) +(5 *4)/(6 *4) 
=3/24 +20/24 =(3 +20)/24 =23/24 

Algebra 

Vær oppmerksom på at det er liten forskjell på tall og bokstaver for en som leser på leselist. For eksempel ser 3a og ca slik ut på leselisten: 

⢉⠁⠀⠉⠁

I korte oppgaver bør eleven skrive alle ledd frem mot løsning, på samme linje. 

I oppgaver hvor ikke hele utregningen får plass på linjen på leselisten, bør eleven bruke flere linjer. Hvis det er plass, har eleven oversikt over to trinn i utregningen samtidig, forrige trinn og det en arbeider med:

Et alternativ til metoden beskrevet ovenfor, er å kopiere hele uttrykket ned til neste linje, og komme fram til neste trinn i utregningen ved å redigere uttrykket som ble kopiert ned. Denne teknikken kan også brukes ved løsning av likninger.  

Likninger  

Lineært oppsatte ligninger krever en del trening i tolking ved avlesing. Les hele ligningen først for å få en helhetlig oversikt. Eleven må legge merke til likhetstegnet, parenteser og potenser. Det er en stor fordel å være godt forberedt i hvilken type ligning det er. 

Lesestrategi for likninger 

1. Les likningen symbol for symbol 
2. Finn likhetstegnet 
3. Undersøk venstre side av likningen. Hva slags uttrykk er dette? Hva er strukturen? 
4. Undersøk høyre side av likningen. Hva slags uttrykk er dette? Hva er strukturen? 
5. Begynn å løse likningen 

Skriving av likninger med leselist 

I visuell skrift føres ofte utregninger av likninger med likhetstegnene justert rett under hverandre. Siden leselisten bare viser én linje av gangen, har det liten hensikt. Ved korte utregninger kan eleven arbeide på samme linje og bruke to mellomrom mellom trinnene.  

• Eksempel: Løs likningen x +1 =3  

x +1 =3 x =3 -1  x =2=== 

De to mellomrommene gir et tydelig skille i punktskrift: 

⠭⠀⠖⢁⠀⠶⢉⠀ ⠭⠀⠶⢉⠀⠤⢁⠀ ⠭⠀⠶⢃⠶⠶⠶

Elever som har behov for å notere flere mellomregninger, kan skrive utregningen over flere linjer:  

x +1 =3   

x +1 -1 =3 -1   

x =2=== 

Utnyttelse av linjelengden  

Når uttrykkene er lange, og det ikke er plass til hele utregningen fram til svaret på én linje, kan eleven føre det neste trinnet på samme linje med to mellomrom mellom trinnene.   

Sette prøve på svaret  

Venstre side kan forkortes til vs og høyre side til hs.  

vs: 8(8 -3) -8/4 =40 -2 =38—  

hs: 4 *8 +6 =32 +6 =38—

vs =hs 

Likningssystemer 

I eksemplet nedenfor viser vi hvordan eleven kan bruke innsettingsmetoden for å løse et lineært likningssystem med to ukjente. 

Polynomdivisjon 

Eksempel: (6x^2 -10x -4) :(2x -4) = 

1. Eleven stiller opp oppgaven. Det kan være en fordel å stille den opp fra marg:
   (6x^2 -10x -4) :(2x -4) = 
2. Eleven skriver første delsvar (3x) etter likhetstegnet, for så å skrive første produkt på samme linje i parentes med minus foran:
   (6x^2 -10x -4) :(2x -4) =3x  -(6x^2 -12x) 
3. Eleven trykker så markørhenter på minustegnet foran produktet og Enter for å flytte uttrykket ned til neste linje.
   (6x^2 -10x -4) :(2x -4) =3x
   -(6x^2 -12x) 
4. Eleven subtraherer ledd for ledd og skriver differensen (2x) til høyre for produktet. Neste ledd i dividenden (-4) flyttes ned
   (6x^2 -10x -4) :(2x -4) =3x -(6x^2 -12x)  2x -4 
5. Eleven undersøker hvor mange ganger divisor går opp i den nye dividenden, går opp til første linje og skriver faktoren (+1) i svaret. Resultatet av multiplikasjonen skrives i parentes på linjen under, med minus foran, etter to mellomrom.
   (6x^2 -10x -4) :(2x -4) =3x +1
   -(6x^2 -12x)  2x -4  -(2x -4) 
6. Eleven trykker markørhenter på minustegnet foran produktet og Enter for å flytte uttrykket ned til neste linje.
   (6x^2 -10x -4) :(2x -4) =3x +1
   -(6x^2 -12x)  2x -4
       -(2x -4) 
7. Eleven flytter det nederste uttrykket slik at tilsvarende ledd blir stående under hverandre. Eleven subtraherer ledd for ledd, og skriver resten etter to mellomrom til høyre på siste linje. Til slutt går eleven tilbake til første linje og setter to streker ved svaret.
   (6x^2 -10x -4) :(2x -4) =3x +1===
   -(6x^2 -12x)  2x -4
     -(2x -4)  0 

Ulikheter 

Ikke all notasjon blir riktig med skjermleser i dette avsnittet – Vi jobber med å løse problemet.

Ulikheter kan løses med samme metoder som for likninger, men med de spesielle reglene som gjelder for ulikheter. Vi viser derfor ikke egne eksempler med ulikheter, men viser hvordan fortegnslinjer kan settes opp. 

Fortegnslinjer 

• Positiv linje markeres med pluss: +++   

• Negativ linje markeres med minus: – – –   

• Nullpunkter på linjene markeres med at verdiene settes på de respektive linjene.  

• For å vise løsningsmengden på tallinjen, settes tegnene for åpent og lukket intervall på fortegnslinjen. 

• Bruddpunkt markeres med åpent intervall, som dette:
  – – – :)0(: +++ 

I visuell skrift har fortegnslinjer en tallinje øverst. Denne er ikke med i punktskrift, siden nullpunktet for hver faktor står på linjen. Linjene kan justeres med samme verdi i samme posisjon under hverandre, men dette tar tid og oppmerksomhet for eleven, derfor anbefaler vi det ikke. Eleven bør heller passe på at verdien for nullpunktet i linjene ligger i riktig posisjon til hverandre, slik vi har vist i eksempelet, hvor -2 i linje to ligger til venstre for 0 i linje 1. 

• Eksempel: x(x +2) >=0  

x – – – – – – – – – – – 0 +++ 

x +2 – – – -2 +++ 

x(x +2) +++ -2 – – – 0 +++ 

 
I punktskrift ser dette slik ut:

⠭⠦⠭⠀⡖⠴⠀⡢⠶⢚
⠭⠀⠤⠤⠤⠤⠤⠤⠤⠤⠤⠤⠀⢚⠀⠖⠖⠖
⠭⠀⡖⢃⠀⠤⠤⠤⠀⠤⢃⠀⠤⢃⠀⠖⠖⠖
⠭⠦⠭⠀⡖⢃⠴⠀⠖⠖⠖⠀⠤⢃⠀⠤⠤⠤⠀⢚⠀⠖⠖⠖

Løsning: 

x(x +2) +++ -2 – – – 0 +++ 

x in (:<-, -2] uu [0, ->:)

• Eksempel:  (x -1)/(x +2) <=0 

(x -1) – – – – – – – – 1 +++ 

(x +2) – – – -2 +++ 

(x -1)/(x +2) +++ :)-2(: – – – 1 +++ 

(x -1)/(x +2) <0 når -2 >x >=1.